Rätsel

Wie ungleich lang sind die Arme der Balkenwaage denn?

Das spielt hier eigentlich überhaupt keine Rolle. Aber mindestens so ungleich lang, dass man nicht dazu verführt wird, sie als annähernd gleich lang zu betrachten.

Na, da dürfen sich jetzt mal andere den Kopf zerbrechen. Ich war ja schon soweit zu behaupten, die Arme einer Balkenwaage müssten nicht zwangsläufig gleich lang sein....

Im Prinzip ist das einfach. Man legt das Ein-Kilo-Gewicht auf die eine Seite.

Dann kommt Zucker auf die andere Seite bis die Waage im Gleichgewicht ist.

Man nimmt dann das Gewicht runter und ersetzt es durch Zucker bis wieder Gleichgewicht hergestellt ist.

Somit hat man ein Kilo Zucker abgewogen, man nimmt das Kilo runter und wiegt sich ein zweites Kilo ab.

Sehr schön, Northstar.

Jetzt muss ich nur noch mal ein Rätsel finden, an dem sich selbst ein Northstar den Kopf zerbricht...

Sehr schön, Northstar.

Jetzt muss ich nur noch mal ein Rätsel finden, an dem sich selbst ein Northstar den Kopf zerbricht...

Suchst Du noch?

Eine Aufgabe, weniger ein Rätsel, speziell für Goedel.

Ein Würfel hat bekanntlich 12 Kanten.

Man stelle sich ein Würfel-Gerippe vor das aus 12 1-Ohm-Widerständen zusammengelötet ist.

Wie hoch ist der Widerstand zwischen zwei gegenüberliegenden Eckpunkten des Würfels?

Ich habe das mal weitergegeben, habe selbst von Physik keine Ahnung.

Die Lösung soll Fünf Sechstel sein, aber wie man darauf kommt habe ich nicht verstanden.

Stimmt das denn?

Meine Güte, hier gehts ja um Mathe...

Hab mal eine Frage, vielleicht kann mir jemand helfen. Es geht um eine Aufgabe meiner Mathe-Abiturklausur 1988, die ich damals richtig gelöst hatte, bei der ich jetzt aber auf keinen grünen Zweig mehr komme:

Ein Würfel der Kantenlänge a stehe mit einer Ecke auf dem Ursprung des Koordinatensystems, die gegenüberliegende Ecke liege auf der z-Achse (d.h. die z-Achse ist eine der Raumdiagonalen).
Beweise mittels analytischer Geometrie, dass die übrigen Ecken des Würfels, auf die x-y-Ebene projiziert, ein gleichmäßiges Sechseck ergeben.

Weiß jemand Bescheid? Ich weiß nur noch, dass Skalarprodukt und Vektorprodukt eine wichtige Rolle spielten.

Wahrscheinlich gibt es einen kurzen und eleganten Weg, aber ich würde erst einmal die Koordinaten der betreffenden Eckpunkte in Abhängigkeit der Kantenlänge a ausrechnen. Das kann man z.B. so machen, indem man sich den Würfel erst parallel zu den Koordinatenachsen vorstellt mit dem Eckpunkt "vorne-unten-links" im Ursprung, und dann durch zweimalge Rotation um 45° (erst um die y-Achse, dann um die x-Achse) die gewünschte Figur bekommt. Die Rotationen kann man sich durch Multiplikation der Eckpunkte im Ausgangs-Würfel mit Rotationsmatrizen der entsprechenden Drehachsen ausrechnen.

Dann hat man 6 gedrehte Punkte, bzw ihre Koordinaten. Als nächstes kommt die Projektion auf die x,y-Ebene, das ist aber einfach nur das Setzen der jeweilgen z-Koordinate auf 0.

Jetzt hat man 6 Punkte in der x,y-Ebene und guckt sich je drei benachbarte davon an. Diese bilden zwei Strecken, die sich im mittleren der drei Punkte treffen. Den entsprechenden Innenwinkel kann man dann leicht ausrechnen, da müsste dann - wenn ein 6-Eck rauskommen soll - jeweils immer (6-2)/6 * 180° = 4/6*180° = 2/3 *180° = 120° rauskommen.

Wenn überall 120° als Innenwinkel rauskommt, hat man die Aufgabe gelöst. Aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass das leichter gehen muss.

War Dir das als Antwort zu vage, Bua?

Sorry, dass ich noch nicht geantwortet hatte.... ich verstehe das mit den 45°-Rotationen nicht so ganz... die x-Achse ist ja die von li nach re, die y von vorn nach hinten und z hoch-runter.... wie erreiche ich durch Drehung des Würfels um die Achsen die Koordinaten für die Ecken? Die 6 Ecken liegen ja auch nicht in einer Ebene. sondern ergeben eine Zickzacklinie im Raum.
Wie gesagt, das Ganze sollte mittels analytischer Geometrie gelöst werden.

Sorry, dass ich noch nicht geantwortet hatte.... ich verstehe das mit den 45°-Rotationen nicht so ganz... die x-Achse ist ja die von li nach re, die y von vorn nach hinten und z hoch-runter.... wie erreiche ich durch Drehung des Würfels um die Achsen die Koordinaten für die Ecken? Die 6 Ecken liegen ja auch nicht in einer Ebene. sondern ergeben eine Zickzacklinie im Raum.
Wie gesagt, das Ganze sollte mittels analytischer Geometrie gelöst werden.

Am besten ist das natürlich mit einer Zeichnung zu erklären, aber ich versuch es mal in Worten:

Stell Dir den Würfel so ausgerichtet vor, dass er parallel zu allen drei Achsen liegt und sein linker unterer vorderer Eckpunkt auf dem Nullpunkt liegt.
In dieser Ausgangssituation lassen sich die Koordinaten aller Eckpunkte sehr leicht angeben:

Die vordere Fläche hat die Eck-Koordinaten:
(0,0,0), (a,0,0), (a,0,a) und (0,0,a)

Die hintere Fläche hat die Eck-Koordinaten:
(0,a,0), (a,a,0), (a,a,a) und (0,a,a)

Wenn man diesen Würfel jetzt um 45° um die y-Achse dreht, und dann nochmal um 45° um die x-Achse, so ensteht der Würfel, der in der Aufgabenstellung beschrieben ist. Da wäre jetzt eine Animation hilfreich, um das zu veranschaulichen, aber vielleicht kannst Du dir es vorstellen?

So eine Dreheung bzw Rotation kann man immer durch eine Matrix darstellen:


Das Alpha, Beta oder Gamma in der Matrix ist dabei jeweils der Drehwinkel, also in unserem Fall Alpha = 45° und Beta = 45°.
Wenn man jetzt einzelne Punkte im Raum an eine solche Matrix von rechts dranmultipliziert, entsteht ein neuer Punkte im Raum mit den korrekten Koordinaten des gedrehten Punktes.

Wir können also einfach die 8 Koordinaten da oben nehmen, zweimal mit der entsprechenden Matrix multiplizieren und erhalten die 8 Koordinaten des Würfels, der in der Aufgabe gefragt ist.

Soweit ok?

Wie gesagt, es geht bestimmt auch anders und eleganter... Aber das ist so der erste Weg, der mir eingefallen ist.

herrschaftszeitzen

Ein Stapel Karten ist folgendermassen zusammengesetzt :

- Insgesamt 104 Karten
- 94 Karten liegen offen (mit dem Bild nach oben)
- 10 Karten liegen verdeckt (Bild nach unten)
- Der Stapel ist willkürlich gemischt
- Die Reihenfolge der Karten ist nicht bekannt

Herausforderung :
Erstelle zwei Stapel mit der gleichen Anzahl verdeckter Karten, ohne den Stapel zu betrachten (also quasi mit verbundenen Augen)

Es sind keine Tricks oder Kniffe notwendig